Divergentie Rekenmachine

Divergentie Calculator: Uitleg en Gebruikershandleiding

De Divergentie Calculator is een interactieve tool die is ontworpen om de divergentie van een driedimensionaal vectorveld te berekenen. Het biedt een intuïtieve manier om de divergentie van een vectorveld ( \mathbf{F}(x, y, z) ) te berekenen en te visualiseren, met zowel de symbolische weergave van de divergentie als de evaluatie op specifieke punten. Daarnaast genereert de tool een grafische visualisatie van het vectorveld om gebruikers diepere inzichten in het gedrag ervan te geven.

Wat is Divergentie?

Divergentie is een scalair gegeven dat de snelheid meet waarmee een vectorveld zich verspreidt of samenkomt op een bepaald punt. Wiskundig gezien wordt de divergentie van een vectorveld ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) gegeven door:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

• Als de divergentie positief is, is het vectorveld aan het verspreiden op dat punt.
• Als de divergentie negatief is, is het vectorveld aan het samenkomen op dat punt.
• Als de divergentie nul is, wordt het veld als solenoïdaal op dat punt beschouwd.

Deze calculator biedt zowel symbolische divergentie als een optie om deze numeriek te evalueren op specifieke punten.

Kenmerken van de Divergentie Calculator

• Symbolische Divergentie: Berekent automatisch de partiële afgeleiden van de componenten van het vectorveld en construeert de divergentie-vergelijking.
• Punt Evaluatie: Evalueer de divergentie numeriek op een specifiek punt ( (x, y, z) ).
• Grafische Visualisatie: Toont een 3D-representatie van het vectorveld met behulp van de interactieve 3D-plotmogelijkheden van Plotly.
• Dropdown Voorbeelden: Laad snel vooraf gedefinieerde voorbeelden van vectorvelden voor verkenning.
• Foutafhandeling: Zorgt ervoor dat ongeldige of onvolledige invoer op een nette manier wordt afgehandeld.

Hoe de Divergentie Calculator te Gebruiken

Volg deze eenvoudige stappen om de calculator effectief te gebruiken:

1. Voer het Vectorveld In:
2. Voer de ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ), en ( R(x, y, z) ) componenten van het vectorveld in de respectieve invoervelden in.

3. Bijvoorbeeld:

   • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
   • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
   • ( R(x, y, z) = e^z )

4. Selecteer een Voorbeeld:

5. Gebruik het dropdownmenu om vooraf gedefinieerde voorbeelden van vectorvelden te laden.

6. Specificeer een Evaluatiepunt (Optioneel):

7. Als je de divergentie op een specifiek punt wilt evalueren, voer dan de waarden van ( x ), ( y ), en ( z ) in de bijbehorende velden in.

8. Klik op "Bereken":

9. De calculator zal:

   • De symbolische divergentie berekenen.
   • De divergentie evalueren op het opgegeven punt (indien opgegeven).
   • Een stapsgewijze uitleg van de berekening weergeven.
   • Een 3D-visualisatie van het vectorveld genereren.

10. Wis de Invoeren:

11. Gebruik de "Wissen" knop om de calculator opnieuw in te stellen.

Voorbeeld Stappenplan

Voorbeeld Vectorveld:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

1. Voer de componenten in:
2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

4. ( R(x, y, z) = e^z )

5. Klik op "Bereken." De calculator zal:

6. De partiële afgeleiden berekenen:
   • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
   • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
   • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
7. Deze combineren om te vinden: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

8. Als evaluatiepunten ( (x=1, y=1, z=0) ) worden opgegeven, zal het resultaat worden geëvalueerd als: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

9. Visualiseer het 3D vectorveld dat op de grafiek is gegenereerd.

FAQ

1. Welke invoerformaten worden ondersteund voor de componenten van het vectorveld?

De calculator ondersteunt functies in termen van ( x ), ( y ), en ( z ). Voorbeelden zijn: - Polynomiale functies: ( x^2, y^2 + z ) - Trigonometriche functies: ( \sin(xy), \cos(z) ) - Exponentiële functies: ( e^z, x \cdot e^y )

2. Wat gebeurt er als ik geen evaluatiepunt opgeef?

Als er geen evaluatiepunt is opgegeven, zal de calculator alleen de symbolische divergentie-vergelijking weergeven.

3. Kan ik deze calculator gebruiken voor 2D vectorvelden?

Ja, laat eenvoudig de ( R(x, y, z) ) component leeg of stel deze in op nul.

4. Hoe wordt de 3D visualisatie van het vectorveld gegenereerd?

De calculator gebruikt Plotly om een interactieve 3D-visualisatie van het vectorveld te creëren. Elke pijl vertegenwoordigt de richting en de grootte van het veld op een bepaald punt.

5. Wat als mijn invoer een fout bevat?

De calculator controleert op fouten zoals ontbrekende componenten of ongeldige uitdrukkingen. Een beschrijvende foutmelding zal je helpen het probleem op te lossen.

Samenvatting

De Divergentie Calculator vereenvoudigt het proces van het analyseren van vectorvelden door de berekening van divergentie te automatiseren en een duidelijke visuele weergave te bieden. Of je nu een student, docent of professional bent, deze tool is perfect om inzichten te krijgen in het gedrag van vectorvelden in 3D-ruimte. Begin nu met verkennen om het volledige potentieel van deze krachtige calculator te ontgrendelen!