Richtingsafgeleide Rekenmachine
Categorie: Calculus
- January 23, 2025
|
|
Wat is een Richtingsafgeleide?
De richtingsafgeleide meet hoe een functie verandert wanneer je in een specifieke richting van een gegeven punt beweegt. Het breidt het concept van partiële afgeleiden uit door een vectorrichting te overwegen in plaats van zich alleen te concentreren op individuele variabelen zoals x
of y
.
- In eenvoudige termen berekent het de snelheid van verandering van een functie
f(x, y, z)
op een specifiek punt in een specifieke richting. - Het wordt wiskundig aangeduid als:
D_v f = ∇f ⋅ v̂
Hier:
- ∇f
is de gradientvector van de functie, die partiële afgeleiden bevat met betrekking tot alle variabelen.
- v̂
is de genormaliseerde (eenheidslengte) richtingsvector.
- Het resultaat van de richtingsafgeleide is een enkel getal dat ons vertelt of de functie toeneemt, afneemt of constant is in de gegeven richting.
Belangrijkste Kenmerken van de Richtingsafgeleide Calculator
- Dynamische Invoer: Voer een multivariable functie in, een evaluatiepunt en een richtingsvector.
- Stap-voor-Stap Uitleg: De calculator biedt gedetailleerde stappen, die laten zien hoe de gradient en richtingsafgeleide worden berekend.
- Grafische Visualisatie: Een grafiek toont het gedrag van de functie langs de richtingsvector.
- Ingebouwde Voorbeelden: Test de tool snel met de aangeboden voorbeelden voor veelvoorkomende functies.
Hoe de Richtingsafgeleide Calculator te Gebruiken
Invoervelden:
- Voer een Functie In: Specificeer een multivariable functie zoals
x^2 + y^2 + z^2
ofsin(x) * cos(y)
. - Evaluatiepunt: Geef het punt op waar de afgeleide zal worden geëvalueerd (bijv.
1,1,1
). - Richtingsvector: Voer de vector in waarin de afgeleide moet worden berekend (bijv.
1,2,3
).
Voorbeelden Dropdown:
- Selecteer een vooraf gedefinieerd voorbeeld om de velden automatisch in te vullen:
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2
bij(1, 1, 1)
in richtingv = (1, 1, 1)
.f(x, y) = sin(x) * cos(y)
bij(0, 0)
in richtingv = (1, 1)
.f(x, y) = e^(x + y)
bij(1, 2)
in richtingv = (0, 1)
.
Knoppen:
- Bereken: Voer de berekening uit en toon resultaten, stappen en een grafiek.
- Wis: Reset alle invoervelden en uitkomsten.
Voorbeeld Stappenplan: f(x, y) = sin(x) * cos(y)
Invoer:
- Functie:
sin(x) * cos(y)
- Punt:
(0, 0)
- Richtingsvector:
(1, 1)
Berekening:
- Bereken de gradientvector:
∂f/∂x = cos(x) * cos(y)
-
∂f/∂y = -sin(x) * sin(y)
-
Evalueer bij
(0, 0)
: ∂f/∂x(0, 0) = 1
-
∂f/∂y(0, 0) = 0
-
Normalizeer de richtingsvector
(1, 1)
: -
Eenheidsvector:
v̂ = (1/√2, 1/√2)
-
Bereken de richtingsafgeleide:
D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2
Resultaat:
- Richtingsafgeleide:
1/√2
Visualisatie:
- De grafiek toont het gedrag van de functie langs de richtingsvector vanuit het gegeven punt.
Voordelen van het Gebruik van de Calculator
- Efficiëntie: Automatiseert tijdrovende handmatige differentiatie en evaluaties.
- Duidelijkheid: Legt het proces stap voor stap uit, ideaal voor leren of verificatie.
- Veelzijdigheid: Behandelt functies met twee of drie variabelen en berekent afgeleiden in elke richting.
Wanneer een Richtingsafgeleide Calculator te Gebruiken
- Wiskunde en Natuurkunde: Analyseer gradients en snelheden van verandering in multivariable functies.
- Machine Learning en AI: Evalueer het gedrag van kostenfuncties langs gradientrichtingen.
- Ingenieurswetenschappen en Optimalisatie: Beoordeel veranderingen in functies onder specifieke beperkingen of richtingen.
Grafische Uitvoer
- Een grafiek wordt gegenereerd om het gedrag van de functie langs de richtingsvector te tonen.
- De x-as vertegenwoordigt
t
, de afstand langs de richtingsvector. - De y-as vertegenwoordigt
f(t)
, de functiewaarde langs die afstand.
Calculus Rekenmachines:
- Concaviteit Calculator
- Functies Rekenmachine
- Limiet Rekenmachine
- Integraal Rekenmachine
- Afgeleide Rekenmachine
- Divergentie Rekenmachine
- Secantlijn Calculator
- Gedeeltelijke Afgeleide Rekenmachine
- Normale Lijn Rekenmachine
- Omgekeerde Afgeleide Rekenmachine
- Impliciete Afgeleide Rekenmachine
- Tweede Afgeleide Rekenmachine
- Asymptoot Rekenmachine
- Extrema Rekenmachine
- Raakvlak Vlak Rekenmachine
- Raaklijn Calculator
- Wronskian Rekenmachine
- Eenheidsnormaalvector Rekenmachine
- nth Afgeleide Rekenmachine
- Eenheid Tangent Vector Rekenmachine
- Krul Calculator
- Kritieke Punten Rekenmachine
- Kromming Calculator
- Antiderivatieve Rekenmachine
- Differentiaalvergelijking Rekenmachine
- Polaire Coördinaten Rekenmachine
- Gemiddelde Waarde Stelling Rekenmachine
- Lineaire Benadering Calculator
- Jacobian Rekenmachine
- Laplace Transformatie Rekenmachine
- Kwadratische Benadering Calculator
- Logaritmische Differentiatie Rekenmachine
- Interval van Convergentie Rekenmachine
- Polaire naar Rechthoekige Coördinaten Rekenmachine
- Lagrange Multipliers Rekenmachine
- Ogenblikkelijke Veranderingssnelheid Rekenmachine
- Buigpunten Rekenmachine
- Domein en Bereik Rekenmachine
- Taylor Series Rekenmachine
- Inverse Laplace Transformatie Rekenmachine
- Gemiddelde Waarde Functie Rekenmachine
- Euler's Methode Rekenmachine
- Verschilquotiënt Rekenmachine
- Booglengte van een Curve Calculator
- Gemiddelde Veranderingssnelheid Calculator
- Oppervlakte tussen Curven Rekenmachine