Omgekeerde Afgeleide Rekenmachine

Categorie: Calculus
- 15 mei 2025
| |

Vind de antiderivaat (onbepaalde integraal) van een functie. Deze calculator helpt je de oorspronkelijke functie te bepalen vanuit de afgeleide.

Invoeren Functie

Weergave-opties

Over Antiderivaten en Integratie

Een antiderivaat (of onbepaalde integraal) van een functie f(x) is een functie F(x) waarvan de afgeleide f(x) is. Met andere woorden, als F'(x) = f(x), dan is F(x) een antiderivaat van f(x).

Belangrijke Eigenschappen van Antiderivaten
  • Als F(x) een antiderivaat is van f(x), dan is F(x) + C ook een antiderivaat, waarbij C een constante is
  • De antiderivaat van een som is de som van antiderivaten: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
  • Constante vermenigvuldigingsregel: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx, waarbij k een constante is
  • Machtsregel: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, waarbij n ≠ -1
  • Integratie van e^x: ∫e^x dx = e^x + C
  • Integratie van 1/x: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
Toepassingen van Integratie

Antiderivaten en integratie hebben talloze toepassingen in:

  • Het vinden van oppervlakte onder krommen en tussen krommen
  • Het berekenen van volumes van driedimensionale objecten
  • Het oplossen van differentiaalvergelijkingen
  • Toepassingen in de natuurkunde: arbeid, energie en beweging
  • Kansrekening en statistiek
  • Ingenieurswetenschappen: spanningsanalyse, vloeistofdynamica, enz.

Wat is een Inverse Afgeleide?

De inverse afgeleide helpt bij het berekenen van de afgeleide van de inverse van een gegeven functie. Voor een functie ( f(x) ) wordt de afgeleide van de inverse, ( f^{-1}(x) ), bepaald met behulp van de formule:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Deze formule komt voort uit de relatie ( f(f^(-1)(x)) = x ). Door beide zijden naar ( x ) te differentiëren, krijgen we:

( f'(f^(-1)(x)) * (f^(-1)(x))' = 1 )

Door op te lossen voor ( (f^(-1)(x))' ), verkrijgen we:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Dit concept is bijzonder nuttig in de calculus om te analyseren hoe snel een inverse functie verandert op een specifiek punt.

Kenmerken van de Inverse Afgeleide Calculator

  • Gedetailleerde Stappen: Voer een functie en een ( x )-waarde in om een gedetailleerde stap-voor-stap oplossing te zien.
  • Voorbeeldfuncties: Test de calculator met vooraf geladen functies zoals ( f(x) = x^2 + 1 ), ( f(x) = e^x ), of ( f(x) = ln(x) ).
  • Grafische Visualisatie: De calculator plot zowel de functie als zijn inverse afgeleide.

Hoe de Inverse Afgeleide Calculator te Gebruiken

  1. Voer een Functie In: Voer de functie ( f(x) ) in waarvan je de inverse afgeleide wilt berekenen. Bijvoorbeeld: x^2 + 1 of e^x.
  2. Specificeer een ( x )-Waarde: Voer het punt in waar je de afgeleide van de inverse functie wilt berekenen.
  3. Klik op Berekenen: Bekijk het resultaat samen met een gedetailleerde uitleg van de berekening.
  4. Verken Voorafgeladen Voorbeelden: Gebruik het dropdownmenu om voorbeeldfuncties uit te proberen en te zien hoe de calculator werkt.

Voorbeeld Stappenplan

Stel dat je de inverse afgeleide van ( f(x) = x^2 + 1 ) wilt berekenen bij ( x = 2 ):

  1. De afgeleide van ( f(x) ) is:

( f'(x) = 2 * x )

  1. Evalueer ( f'(2) ):

( f'(2) = 2 * 2 = 4 )

  1. Gebruik de formule voor de inverse afgeleide:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Bij ( x = 2 ) is de inverse afgeleide:

( (f^(-1)(2))' = 1 / 4 = 0.25 )

Belangrijke Voordelen van het Gebruik van Deze Calculator

  • Bereken snel de inverse afgeleide van complexe functies.
  • Visualiseer de functie en zijn inverse afgeleide op een interactieve grafiek.
  • Begrijp het proces door stap-voor-stap oplossingen.