Drievoudige Integraal Calculator

Categorie: Calculus

- 18 augustus 2025

| |

Bereken en visualiseer drievoudige integralen over verschillende gebieden in de 3D-ruimte. Deze calculator helpt bij het instellen van de integratiegrenzen, het visualiseren van het gebied en het berekenen van het resultaat.

Integratie-instelling

Coördinatensysteem:

Cartesisch (x,y,z)

Cilindrisch (r,θ,z)

Sferisch (ρ,θ,φ)

Integrandfunctie:

Gebruik x, y, z voor Cartesisch; r, theta, z voor Cilindrisch; rho, theta, phi voor Sferisch

Integratiegrenzen (Cartesisch)

tot

Huidig Gebied:

Bovenste halve bol met straal 1, gecentreerd op de oorsprong

Opties

Toon stap-voor-stap oplossing

Toon 3D-visualisatie

Bereken numeriek resultaat

Vervang waarden in stappen

Vooraf ingestelde gebieden

Integraalresultaat

∭(x² + y² + z²) dxdydz

Geverifieerde drievoudige integraal

2π/5

Ongeveer 1.2566

Stap-voor-stap oplossing

3D Gebiedsvisualisatie

Transformatie van coördinatensysteem

Cartesische coördinaten (x, y, z)

x = x

y = y

z = z

Volume-element: dx dy dz

Cilindrische coördinaten (r, θ, z)

x = r cos(θ)

y = r sin(θ)

z = z

Volume-element: r dr dθ dz

Sferische coördinaten (ρ, θ, φ)

x = ρ sin(φ) cos(θ)

y = ρ sin(φ) sin(θ)

z = ρ cos(φ)

Volume-element: ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

Veelvoorkomende drievoudige integralen

Volume van eenheidsbol

∭ dx dy dz = 4π/3

Gebied: x² + y² + z² ≤ 1

Volume van eenheidskubus

∭ dx dy dz = 1

Gebied: 0 ≤ x,y,z ≤ 1

Volume van cilinder

∭ dx dy dz = πh

Gebied: x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ h

Moment van traagheid (Bol)

∭ (x² + y² + z²) dx dy dz = 4π/5

Gebied: x² + y² + z² ≤ 1

Begrijpen van drievoudige integralen

Een drievoudige integraal vertegenwoordigt de volume-integratie van een functie over een gebied in de driedimensionale ruimte. Het breidt het concept van enkelvoudige en dubbele integralen uit naar drie dimensies.

Definitie

De drievoudige integraal van een functie f(x,y,z) over een gebied V in de driedimensionale ruimte is gedefinieerd als:

∭_V f(x,y,z) dV

Dit vertegenwoordigt de som van de waarden van f door het gebied V, gewogen door het volume-element dV.

Verschillende coördinatensystemen

Drievoudige integralen kunnen worden geëvalueerd in verschillende coördinatensystemen:

Cartesisch: ∭ f(x,y,z) dx dy dz

Cilindrisch: ∭ f(r,θ,z) r dr dθ dz

Sferisch: ∭ f(ρ,θ,φ) ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

De keuze van het coördinatensysteem moet overeenkomen met de symmetrie van het probleem om berekeningen te vereenvoudigen.

Toepassingen

Drievoudige integralen hebben veel praktische toepassingen, waaronder:

Berekenen van volumes van complexe 3D-vormen
Vinden van het zwaartepunt van een vast object
Berekenen van momenten van traagheid in de natuurkunde
Bepalen van de totale elektrische of gravitationele potentiaal in een gebied
Oplossen van problemen in de vloeistofdynamica en elektromagnetisme

Disclaimer: Deze calculator biedt benaderingen voor educatieve doeleinden. Voor kritische toepassingen die hoge precisie vereisen, verifieer de resultaten met gespecialiseerde wiskundige software of raadpleeg een professionele wiskundige.

Wat is een Drievoudige Integraal Calculator?

De Drievoudige Integraal Calculator is een gebruiksvriendelijke online tool die je helpt bij het evalueren en begrijpen van drievoudige integralen — een methode om het volume onder een oppervlak in driedimensionale ruimte te berekenen. Of je nu werkt met Cartesische, Cilindrische of Sferische coördinaten, deze calculator stelt je in staat om de integrandfunctie te definiëren, integratiegrenzen in te voeren en zowel symbolische als numerieke oplossingen te ontvangen, compleet met optionele stapsgewijze begeleiding en 3D-visualisaties.

∭_V f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(x, y, z) dz dy dx

Waarom deze tool gebruiken?

Deze calculator is nuttig voor studenten, docenten en professionals die moeten:

Het volume van een gebied in 3D-ruimte vinden
Integralen in verschillende coördinatensystemen berekenen
Begrijpen hoe integratiegrenzen zich verhouden tot geometrische vormen
Een stapsgewijze uitleg van het integratieproces krijgen
3D-gebieden visualiseren om intuïtie voor multivariable calculus op te bouwen

Hoe de calculator te gebruiken

Kies een coördinatensysteem: Kies tussen Cartesisch (x, y, z), Cilindrisch (r, θ, z) of Sferisch (ρ, θ, φ) op basis van de vorm van het gebied.
Voer de integrandfunctie in: Bijvoorbeeld, x^2 + y^2 + z^2 in Cartesische coördinaten.
Specificeer integratiegrenzen: Voer de onder- en bovengrenzen voor elke variabele in. Je kunt ook vooraf ingestelde vormen gebruiken, zoals de eenheidsbol of cilinder.
Kies opties: Schakel in of je stapsgewijze oplossingen, numerieke resultaten of visualisaties wilt weergeven.
Klik op "Bereken Integraal": Bekijk het resultaat, zie een uitsplitsing van elke integratiestap en interacteer met de 3D-visualisatie als deze is ingeschakeld.

Belangrijkste Kenmerken

Ondersteunt Cartesische, Cilindrische en Sferische coördinaten
Biedt symbolische en numerieke resultaten
Bevat vooraf ingestelde gebieden voor veelvoorkomende vormen
Visualiseert gebieden in 3D met rotatie en zoom
Breekt elke stap van de integratie af voor leerdoeleinden

Nuttig voor het Leren van Gerelateerde Onderwerpen

Drievoudige integralen komen vaak voor naast andere onderwerpen in de multivariable calculus. Deze calculator aanvult tools zoals:

Partiële Afgeleide Calculator: Ontdek hoe functies veranderen langs specifieke variabelen met behulp van partiële afgeleiden of een multivariable afgeleidenoplosser.
Antiderivaat Calculator: Bereken onbepaalde integralen en los integratieproblemen stap voor stap op.
Integraal Calculator: Los enkelvoudige bepaalde of onbepaalde integralen op voor basispraktijk.
Richtingsafgeleide Calculator: Begrijp gradiënten en hoe een functie verandert in specifieke richtingen.
Tangentiële Vlak Calculator: Vind vlakken die een oppervlak op een punt het beste benaderen met behulp van differentiële analyse.

Veelgestelde Vragen (FAQ)

Waarvoor wordt een drievoudige integraal gebruikt?

Een drievoudige integraal wordt vaak gebruikt om volumes, massa en andere hoeveelheden over een driedimensionaal gebied te berekenen. Het is een sleutelconcept in de natuurkunde, techniek en multivariable calculus.

Welk coördinatensysteem moet ik kiezen?

Gebruik degene die overeenkomt met de symmetrie van je gebied:

Cartesisch – voor kubussen, dozen en rechthoekige lichamen
Cilindrisch – voor cilinders en cirkelvormige vormen
Sferisch – voor bollen, halve bollen en radiale symmetrie

Kan deze calculator stappen tonen?

Ja. Je kunt de optie “Toon stapsgewijze oplossing” inschakelen om de integraal in fasen uit te werken, wat ideaal is voor leren en het controleren van je werk.

Wat als ik alleen een numeriek resultaat wil?

Schakel “Bereken numeriek resultaat” in om een benaderende decimale waarde te krijgen. Dit is nuttig wanneer symbolische integratie te complex is.

Is dit geschikt voor gebruik in de klas?

Absoluut. Deze calculator is ideaal voor studenten en docenten om problemen te oefenen, huiswerk te verifiëren of te gebruiken tijdens studiesessies.

Hoe deze calculator helpt

Of je nu probeert volumes te berekenen, fysieke systemen te analyseren of je begrip van calculus te verdiepen, de Drievoudige Integraal Calculator biedt duidelijke, bruikbare inzichten. Het is een praktische tool voor multivariable calculus die naadloos samenwerkt met andere concepten zoals partiële afgeleiden, integratietechnieken en vectoranalyse.