Simpson's Regel Calculator

Categorie: Calculus

- 07 juni 2025

| |

Bereken bepaalde integralen numeriek met behulp van de Regel van Simpson. Deze calculator benadert de integraal van een functie over een opgegeven interval door parabolische bogen te passen door gelijkmatig verdeelde punten.

Integratieparameters

Te integreren functie:

Gebruik x als de variabele. Wiskundige functies: sin, cos, tan, log, sqrt, enz.

Ondergrens (a):

Bovenrand (b):

Aantal intervallen (n):

Moet een even getal zijn voor de Regel van Simpson

Visualisatie-opties

Toon functieplot

Toon benaderingsgebieden

Begrijpen van de Regel van Simpson

De Regel van Simpson is een numerieke benaderingsmethode voor bepaalde integralen. Het benadert de functie met behulp van kwadratische polynomen, wat een betere nauwkeurigheid biedt dan eenvoudigere methoden zoals de Trapeziumregel.

De formule

\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

Waar:

h = (b - a) / n is de breedte van elk subinterval
n is het aantal subintervallen (moet even zijn)
x_i = a + i·h zijn de gelijkmatig verdeelde punten

Foutterm

De Regel van Simpson heeft een foutterm van O(h⁵), wat betekent dat de fout evenredig is met h⁴. Specifiek:

\text{Fout} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

Waar f⁽⁴⁾(ξ) de vierde afgeleide van f is op een bepaald punt ξ tussen a en b.

Vergelijking met andere methoden

Middelpuntregel: Fout is O(h³), minder nauwkeurig dan de Regel van Simpson
Trapeziumregel: Fout is O(h³), minder nauwkeurig dan de Regel van Simpson
Regel van Simpson 3/8: Vergelijkbare nauwkeurigheid met de Regel van Simpson
Gauss-quadratuur: Nauwkeuriger voor bepaalde functietypes

Disclaimer: Deze calculator biedt numerieke benaderingen die fouten kunnen bevatten, vooral voor functies met singulariteiten of snelle oscillaties. Verifieer altijd belangrijke resultaten met alternatieve methoden of analytische oplossingen wanneer mogelijk.

Wat is de Simpson's Regel Calculator?

De Simpson's Regel Calculator is een interactieve tool die de waarde van een bepaalde integraal schat. In plaats van complexe integralen met de hand op te lossen, past deze calculator een betrouwbare numerieke methode toe om het gebied onder een kromme te benaderen, bekend als de Simpson's Regel. Het is vooral nuttig voor functies die moeilijk of onmogelijk analytisch te integreren zijn.

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

Deze methode verdeelt het interval in een even aantal delen en past parabolen aan door punten op de grafiek van de functie. Het levert betere nauwkeurigheid dan de trapezium- of middenregel.

Waarom het gebruiken?

Of je nu een student, leraar, ingenieur of nieuwsgierige leerling bent, de Simpson’s Regel Calculator helpt je:

Bepaalde integralen snel te schatten
Visualiseren hoe het gebied onder de kromme wordt benaderd
Begrijpen wat de impact is van het veranderen van het aantal intervallen
Foutanalyse uitvoeren en het convergentiegedrag bekijken

Het aanvult ook andere tools zoals de Integrale Calculator voor het oplossen van bepaalde of onbepaalde integralen en de Antiderivaat Calculator voor het vinden van antiderivaten. Als je werkt met multivariabele functies, bekijk dan de Partiële Afgeleide Calculator om partiële afgeleiden te berekenen of multivariabele differentiatie te analyseren.

Hoe de Calculator te Gebruiken

Volg deze eenvoudige stappen om een nauwkeurige benadering van je bepaalde integraal te krijgen:

Voer de functie in die je wilt integreren in het invoerveld (gebruik x als de variabele).
Stel de onder- en bovengrenzen voor het integratieinterval in.
Kies het aantal intervallen (moet een even getal zijn).
Schakel optioneel functieplotting en benaderingsvisuals in.
Klik op "Bereken Integraal" om het resultaat, de plot en de uitsplitsing te bekijken.

Je kunt de calculator op elk moment resetten met de knop "Reset".

Veelvoorkomende Toepassingen

Gebruik de Simpson’s Regel Calculator om:

Het gebied onder krommen te benaderen wanneer de exacte integraal moeilijk te berekenen is
Numerieke resultaten te vergelijken met exacte oplossingen van een integraaloplosser
Convergentie te analyseren door het aantal intervallen te verhogen
Inzichten te krijgen in het foutgedrag bij verschillende intervalaantallen

Het is vooral handig voor het controleren van werk of het aanvullen van resultaten van tools zoals de Tweede Afgeleide Calculator of de Richting Afgeleide Calculator in multivariabele analyse.

Veelgestelde Vragen

V: Welke soorten functies kan ik invoeren?
Elke functie die x als variabele gebruikt. Veelvoorkomende uitdrukkingen zijn onder andere polynomen, trigonometrische functies, exponentiële functies en logaritmen. Bijvoorbeeld: x^2 + sin(x).

V: Waarom moet het aantal intervallen even zijn?
De Simpson’s Regel is afhankelijk van het aanpassen van parabolen over paren van intervallen. Een oneven aantal intervallen zou deze paring verstoren.

V: Hoe nauwkeurig is deze methode?
De Simpson's Regel is zeer nauwkeurig voor gladde functies en verbetert met meer intervallen. De calculator toont ook fout- en convergentie-informatie.

V: Wat als mijn functie op een bepaald punt niet gedefinieerd is?
Vermijd functies met singulariteiten of discontinuïteiten binnen het interval. Deze kunnen onnauwkeurige resultaten of evaluatiefouten veroorzaken.

Eindgedachten

Deze calculator is een nuttige metgezel voor het bestuderen van calculus en het oplossen van praktische problemen die integratie omvatten. Het maakt deel uit van een bredere suite van wiskundige tools zoals de Afgeleide Calculator, Inverse Afgeleide Calculator en Limiet Calculator die het leren en toepassen van geavanceerde wiskundige concepten vereenvoudigen.